Невозможно вставить ссылку длинной более 140 символов в дополнительное поле при добавлении записи. Есть ли возможность увеличить?
Нет такой возможности.

Как изменить настройки дневника, чтобы гости без регистрации могли добавлять в него записи?
Никак.

Возможно ли убрать фразу "записи по теме..."?
Можно, у неё есть класс, пропишите для него display: none.

Как добавить на сайт дополнительный модуль "Дневник"?
Дополнительный модуль добавить нельзя.

Поиск в дневнике идёт только по названию поста, можно ли сделать так, чтобы поиск шёл внутри текста по $MESSAGE$?
Если у вас очень много материалов в дневнике, то попробуйте обратиться в техподдержку. В каталогах существует такая возможность, но она ресурсозатратна и включается по запросу только для сайтов, где много оригинальной информации, а не всем кому ни попадя.

Когда листаю страницы в дневнике, то вернуться назад не получается, потому что при нажатии "назад" попадаешь страницу захода.
Отключите аякс, будете попадать на предыдущую.

Как закрепить первый пост в дневнике?
При добавлении поставить галочку "Материал всегда сверху"

При добавлении записи сколько категорий можно выбрать?
Только одну.

Я создал несколько категорий распихал по них свои записи. В редакторе категории отображаются, а на сайте нет. В чём дело?
Вероятно в премодерации.

Вставляю в дневник таблицу, на сайте перед ней ставится около 12 переносов. В чем дело-то?
Уберите галочку на

Когда пользователи сайта делают запись в дневнике, то её можно увидеть только будучи залогиненным. А я хочу, чтобы все незарегистрированные тоже могли видеть записи.
Уберите премодерацию в настройках групп, или тщательно проверьте все условные конструкции в отредактированном вами шаблоне, или восстановите стандартный шаблон.